从零开始的高等数学(一):函数与极限
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所谓函数关系就是变量之间的依赖关系,极限方法是研究变量的一种基本方法

函数

函数的概念

设数集, 则称映射为定义在上的函数, 通常记为:

其中成为自变量, 称为因变量, 称为定义域, 记做. 函数值的全体集合称为函数的值域, 记做.

函数的几种特性

  1. 有界性

    • 上界: 使得;
    • 下界: 使得;
    • 有界: 使得
  2. 单调性

    • 单调增:
    • 单调减:
  3. 奇偶性

    关于原点对时

    • 偶函数: , 图像关于轴对称
    • 奇函数: , 图像关于原点对称
  4. 周期性

    使得. 值得注意的是并非每个周期函数都有最小周期, 例如:

反函数

单射, 反函数. 此外, 若存在单调性, 的单调性与保持一致.

函数的极限

函数极限的定义

  1. 自变量趋于有限时函数的极限

    • 的去心领域内有定义(在处可以没有定义)

    • 使

  2. 自变量趋于无穷

    • 使

函数极限的性质

  1. 函数极限的唯一性

  2. 局部有界性

  3. 局部保号性

    中,有时, 有, 则

  4. 函数极限与数列极限的关系

    现有和数列, 有

    注意, 若数列极限存在, 函数极限不一定存在, 因为数列只是一个子集, 不能保证全集都收敛。

无穷小与无穷大

  1. 无穷小被定义为无限趋近为0, 值得注意的是0也是无穷小的, 也不要把无穷小和很小的数混为一谈, 不是无穷小,因此常数中只有0是无穷小的
  2. 无穷大为趋近为

极限的运算法则

  1. 两个无穷小的和/差是无穷小, 有限个无穷小的和也是无穷小
  2. 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小, 例如:
  3. 极限都存在的情况下,

极限存在的准则 两个重要极限

准则

  1. 对于数列, 满足以下条件时

    该定理为夹逼定理

  2. 单调有界数列必有极限

    收敛必有界,有界不一定收敛

重要极限

    • 例:
    • 例:
    • 例: , 其中

    也成立

    • 例:
    • 例:

    变体:

无穷小的比较

  1. 对于两个无穷小, 当: , 称的高阶无穷小, 记做.
  2. 对于两个无穷小, 当: , 称的低阶无穷小

  3. 对于两个无穷小, 当: , 称的同阶无穷小

  4. 对于两个无穷小, 当: , 称阶无穷小

  5. 对于两个无穷小, 当: , 称的等价无穷小, 记做. 两个无穷小相除或多个无穷小连续相乘可以用等价无穷下替换

    • 例:

函数的连续性与间断点

连续性定义:

间断的定义:

  1. 无定义
  2. 不存在
  • Post title:从零开始的高等数学(一):函数与极限
  • Post author:Kotori Y
  • Create time:2021-11-08 14:11
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